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Qué hace primo a un número
Un número primo es un número entero mayor que 1 cuyos únicos divisores son 1 y él mismo. 2, 3, 5, 7, 11 y 13 son primos. 4 no lo es, porque 2 × 2 = 4. 1 tampoco es primo, ni 0: los primos empiezan en 2, por definición. Esta definición suena simple, pero sostiene una cantidad enorme de matemática. Todo número entero mayor que 1 es primo o producto de primos, y ese producto es único. Ese hecho, llamado teorema fundamental de la aritmética, convierte a los primos en los átomos del mundo de los números.
Los primos también protegen la vida moderna. El cifrado que protege tu acceso al banco y tus mensajes depende de que multiplicar dos primos grandes sea fácil, mientras que descomponer el producto en sus factores primos sea extremadamente difícil. Cuando compruebas si un número es primo, estás tocando la misma idea que mantiene privada la vida en línea.
Cómo usar este verificador
Escribe un número entero hasta 10.000.000 y pulsa Comprobar si es primo. La herramienta prueba divisores desde 2 hasta la raíz cuadrada de tu número. Si ninguno lo divide, el número es primo, y la herramienta dice cuántos divisores probó. Si encuentra un divisor, el número es compuesto, y la herramienta muestra el factor menor más la factorización completa en primos, por ejemplo 60 = 2 × 2 × 3 × 5.
Probar solo hasta la raíz cuadrada es el atajo clave. Si un número tiene un factor mayor que su raíz cuadrada, también debe tener un factor compañero menor que la raíz cuadrada, así que comprobar el lado pequeño basta. Para 97, la raíz cuadrada es alrededor de 9,8, así que probar del 2 al 9 lo resuelve. Para 10.000.000, la herramienta prueba hasta 3.162, lo cual es rápido en un navegador.
Un ejemplo resuelto
Prueba con 91. Mucha gente adivina que es primo porque lo parece y termina en 1. No lo es: 91 = 7 × 13. La herramienta encuentra 7 como factor menor y muestra la factorización. Prueba luego con 97. Ningún divisor del 2 al 9 funciona, así que 97 es primo. Ese par, 91 y 97, es un buen recordatorio de que la primalidad no se puede juzgar por la apariencia; hay que comprobarla.
Prueba también con 1 y 0, ya que son los casos límite clásicos. La herramienta explica que ninguno es primo ni compuesto. Los estudiantes pierden puntos exactamente en este punto, así que vale la pena ver la respuesta enunciada con claridad.
Por qué los primos se vuelven escasos
Los primos se vuelven más raros a medida que los números crecen, pero nunca se agotan: Euclides demostró hace más de dos mil años que hay infinitos primos. Entre los primeros 100 números hay 25 primos. Entre los números cercanos a un millón, solo alrededor de 1 de cada 14 es primo. Esta disminución es gradual y predecible, y es una razón por la que los primos grandes son útiles para el cifrado: son lo bastante comunes para encontrarlos, pero un número grande al azar suele ser compuesto.
Los primos más grandes que se conocen hoy tienen decenas de millones de dígitos y se encuentran con proyectos de computación distribuida. No necesitas números tan grandes para apreciar la idea, aunque. El verificador de aquí maneja el rango donde comprobar a mano es tedioso pero el razonamiento es totalmente visible.
Errores comunes
El error más común es llamar primo al 1. No lo es. Otro es suponer que los números impares son primos: 9, 15, 21 y 27 son impares y todos compuestos. Un tercero es detener la división de prueba demasiado pronto o demasiado tarde: debes probar hasta la raíz cuadrada, no hasta la mitad del número, y no solo los primos pequeños que recuerdas. La herramienta maneja el límite por ti y lo imprime, así que puedes ver exactamente dónde se detuvo la comprobación.
También recuerda que “primo” es una propiedad del número en sí, no de cómo se escribe. 91 en cualquier base, o escrito como 7 × 13, sigue siendo el mismo número compuesto.
Pruébalo tú mismo
Comprueba tu año de nacimiento, tu número de casa y algunos números alrededor de 100. Luego comprueba un número como 999983, que es primo, y 999984, que no lo es. Observa cómo la factorización que la herramienta da del vecino compuesto hace obvio el contraste. Ese hábito, comprobar en lugar de adivinar, es toda la habilidad que este verificador quiere desarrollar.