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¿Qué es un factorial?
Un factorial es una forma corta de escribir una multiplicación larga. El factorial de un número n, escrito n!, es el producto de todos los números enteros desde n hasta 1. Así, 5! significa 5 × 4 × 3 × 2 × 1, que es igual a 120. Por definición, 0! es igual a 1. Esta regla puede parecer extraña al principio, pero mantiene coherentes las fórmulas de conteo y probabilidad, y es la razón por la que un orden vacío sigue contando como un orden.
Los factoriales aparecen en todos los problemas de conteo. Cuentan las formas de ordenar objetos en fila, las formas de elegir equipos y comités, y los pasos dentro de las fórmulas de probabilidad. Si alguna vez te preguntaste de cuántas formas pueden colocarse cinco libros en un estante, la respuesta es un factorial: 5!, o sea 120 formas. Con diez libros, el número salta a 3.628.800. Ese crecimiento explosivo es lo más importante que debes entender de los factoriales.
Cómo usar esta calculadora
Escribe un número entero n entre 0 y 100 y pulsa Calcular factorial. La herramienta muestra tres cosas: el resultado final, la multiplicación completa escrita paso a paso y los totales acumulados a medida que la multiplicación crece. Para 5!, verás 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120, más cada paso: 5, luego 5 × 4 = 20, luego × 3 = 60, luego × 2 = 120, luego × 1 = 120. Ver los totales acumulados te ayuda a sentir lo rápido que crece la respuesta.
El límite de 100 tiene una buena razón. 100! tiene 158 dígitos. Eso está muy por encima de lo que una calculadora de bolsillo puede mostrar con exactitud, pero esta herramienta usa aritmética entera exacta, así que cada dígito que imprime es correcto. Más allá de 100, la cadena de multiplicación se convierte en un muro de números que no enseña nada nuevo, así que la herramienta se detiene allí.
Un ejemplo resuelto
Supón que cuatro amigos quieren sentarse en fila para una foto. ¿Cuántos órdenes de asientos son posibles? El primer asiento puede ocuparlo cualquiera de los cuatro amigos, el segundo cualquiera de los tres restantes, el tercero cualquiera de los dos últimos y el último asiento la persona que queda. Eso es 4 × 3 × 2 × 1 = 24 órdenes. Prueba con 4 en la herramienta y verás que la cadena completa y los totales acumulados coinciden exactamente con este razonamiento.
Ahora prueba con 0. La herramienta devuelve 1. No es un truco. Existe exactamente una forma de ordenar nada: el orden vacío. Los matemáticos definen 0! como 1 para que fórmulas como la de combinaciones sigan funcionando cuando eliges todos los elementos o ninguno.
Cómo crecen los factoriales
El crecimiento es difícil de sentir hasta que ves los números uno al lado del otro. 1! es 1, 5! es 120, 10! es 3.628.800 y 20! ya es alrededor de 2,4 × 10^18, más que el número de segundos desde el Big Bang. Por eso los problemas de conteo se vuelven imposibles de enumerar a mano muy rápido, y por eso las fórmulas importan más que la fuerza bruta. Una computadora puede multiplicar, pero una persona no puede listar 3,6 millones de órdenes de diez libros.
Los factoriales también aparecen dentro de otras fórmulas. El número de formas de elegir r elementos de n, sin importar el orden, divide un factorial entre otros dos. El número de formas de ordenarlos cuando el orden importa divide un factorial entre otro. Aprender primero los factoriales hace que ambas fórmulas se sientan naturales en lugar de memorizadas.
Errores comunes
El error más común es sumar en lugar de multiplicar: 5! no es 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15. Es un producto, y los productos crecen mucho más rápido que las sumas. Otro error es pensar que 0! es 0. Es 1, por definición, y esa definición se usa en todos los libros de texto. Un tercer error es aplicar factoriales a números no enteros. Los factoriales se definen para enteros en esta herramienta; la función gamma extiende la idea a otros números, pero esa es otra herramienta para otro día.
Por último, recuerda que un factorial responde “¿cuántos órdenes?”, no “¿qué orden?”. Si necesitas un orden concreto, todavía tienes que elegirlo. El factorial solo te dice cuántas opciones existen en total.
Pruébalo tú mismo
Empieza con 3, 4 y 5 para desarrollar tu intuición del patrón. Luego prueba con 10 y observa cómo salta la cantidad de dígitos. Después prueba con 20 y compara el tamaño con 10!. Ese salto es toda la historia de los factoriales: entradas pequeñas, salidas enormes y una regla de multiplicación simple detrás de todo. Usa la herramienta cuantas veces quieras; cada cálculo ocurre en tu navegador y nada de lo que escribes se envía a ningún sitio.
Herramientas relacionadas
- Factorial Calculator (English version)
- Calculadora de Permutaciones y Combinaciones
- Calculadora de MCD y MCM