Calculadora de Permutaciones y Combinaciones

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Permutaciones y combinaciones, en palabras simples

Supón que tienes diez corredores y quieres entregar medallas de oro, plata y bronce. El orden importa: dar el oro a Ana y la plata a Ben es un resultado distinto de dar el oro a Ben y la plata a Ana. Eso es una permutación. Ahora supón que quieres elegir a tres de los diez corredores para un equipo, y no importa quién aparece primero en la lista. Eso es una combinación. Los mismos números, n = 10 y r = 3, dan respuestas distintas: 720 permutaciones pero solo 120 combinaciones.

La diferencia es todo el tema. Las permutaciones cuentan selecciones con orden. Las combinaciones cuentan selecciones sin orden. Cada combinación de tres corredores puede ordenarse de 3! = 6 formas, y por eso 720 dividido entre 6 da 120. Cuando ves ese vínculo, las dos fórmulas dejan de ser dos datos separados para memorizar y se convierten en una sola idea vista desde dos lados.

Cómo usar esta calculadora

Escribe n, el número total de elementos, y r, el número que eliges. Pulsa Calcular nPr y nCr. La herramienta muestra ambas respuestas, más los pasos factoriales detrás de cada una. Para n = 10 y r = 3, verás nPr = 10! / 7! = 720 y nCr = 10! / (3! × 7!) = 120. Ver los pasos importa, porque ahí ocurren la mayoría de los errores: la gente divide entre el factorial equivocado o se olvida de uno por completo.

Tanto n como r deben ser números enteros con 0 ≤ r ≤ n ≤ 100. Elegir más elementos de los que existen no tiene sentido, y la herramienta te lo dirá en lugar de inventar una respuesta.

Un ejemplo resuelto: contraseñas y equipos

Toma un PIN de cuatro dígitos formado con los dígitos del 0 al 9, sin repetir ningún dígito. El orden importa, porque 1234 no es el mismo PIN que 4321. Eso es una permutación: 10P4 = 10! / 6! = 5.040 PIN posibles. Ahora toma una lotería donde eliges seis bolas de 49 y el orden de las bolas no importa. Eso es una combinación: 49C6 = 13.983.816. El número de la lotería es enorme, y por eso ganar es tan improbable, aunque ambos problemas parten del mismo tipo de conteo.

Prueba ambos en la herramienta. Primero n = 10, r = 4, y anota la respuesta de permutación. Luego n = 49, r = 6, y anota la respuesta de combinación. La brecha entre ambas respuestas para el mismo estilo de problema es el precio de que importe el orden.

Las fórmulas, explicadas

La fórmula de permutación es nPr = n! / (n − r)!. El razonamiento es simple: tienes n opciones para la primera elección, n − 1 para la segunda, y así hasta n − r + 1 para la última. Multiplicar esas opciones da una cadena que es exactamente la parte alta de n! con la parte baja recortada, que es lo que hace dividir entre (n − r)!.

La fórmula de combinación añade una división más: nCr = n! / (r! × (n − r)!). Ese r! extra elimina los ordenamientos. Cada grupo sin orden de r elementos puede ordenarse de r! formas, así que dividir entre r! convierte todos esos ordenamientos en un solo grupo. Esa es la única diferencia entre las dos fórmulas, y es la diferencia que importa.

Errores comunes

El error clásico es usar una permutación cuando el problema pide una combinación, o al revés. Hazte una pregunta antes de calcular: ¿intercambiar dos elementos elegidos crearía un resultado distinto? Si la respuesta es sí, usa nPr. Si es no, usa nCr. Un comité es una combinación; un presidente, un vicepresidente y un secretario elegidos del mismo grupo es una permutación, porque los cargos son distintos.

Otro error es olvidar que la repetición lo cambia todo. Estas fórmulas suponen que cada elemento se usa como máximo una vez. Si los dígitos pueden repetirse en un PIN, la cuenta es 10^4 = 10.000, no 10P4. Comprueba siempre si se permiten repeticiones antes de usar nPr o nCr.

Cuándo encaja cada una

Usa permutaciones para contraseñas, resultados de carreras, órdenes de asientos con asientos nombrados y cualquier clasificación. Usa combinaciones para equipos, comités, sorteos de lotería, manos de cartas y cualquier grupo donde solo importa quién pertenece. Si no estás seguro, resuelve un caso pequeño a mano: tres elementos, elige dos, y enumera los resultados. Si tu lista tiene 6 entradas, el orden importa. Si tiene 3, no importa. Luego amplía con la herramienta.

Calculadora de Permutaciones y Combinaciones – nPr y nCr sin Confusión